如图，点P是O外一点，PA切O于点A，AB是O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是O的切线；（2）若PD=163，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条

Question

如图，点P是 O外一点，PA切 O于点A，AB是 O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交 O于点C，连接AC交OP于点D．

（1）求证：PC是 O的切线；
（2）若PD=(16)/(3)，AC=8，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，若点E是

AB

的中点，连接CE，求CE的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接OC，
∵PA切 O于点A，∴∠PAO=90°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOP=∠COP，
在△PAO和△PCO中，

OA=OC

∠AOP=∠COP

OP=OP

，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∴PC是 O的切线；
（2） 由（1）得PA，PC都为圆的切线，
∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，
∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，
∴∠PAD=∠AOD，
∴△ADP∽△ODA，
∴(AD)/(PD)=(DO)/(AD)，
∴AD²=PD•DO，
∵AC=8，PD=(16)/(3)，
∴AD=(1)/(2)AC=4，OD=3，AO=5，
由题意知OD为△的中位线，
∴BC=6，OD=6，AB=10．
∴S阴=(1)/(2)S _O-S_△ABC=(25π)/(2)-24；
（3） 如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，
∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，
∵点E是

AB

的中点，
∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，
CM=MB=3√(2)，
BE=AB•cos45°=5√(2)，
∴EM=√(BE2-BM2)=4√(2)，
则CE=CM+EM=7√(2)．