如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连接PC，交⊙O于点E；连接AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE•AC=CE•KB．

Question

如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连接PC，交⊙O于点E；连接AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE•AC=CE•KB．

Answer 1

证明：∵AC∥PB，
∴∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，
∴∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，
∴△KPE∽△KAP，
∴(KP)/(KA)＝(KE)/(KP)，
即KP²=KE•KA．
由切割线定理得KB²=KE•KA
∴KP=KB，
∵AC∥PB，△KPE∽△ACE，
于是(PE)/(CE)＝(KP)/(AC)，
故(PE)/(CE)＝(KB)/(AC)，
即PE•AC=CE•KB．