已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2-x，a∈R．（Ⅰ）当a＝14时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）是否存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）？若存在，求实数a的取值

Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+ax²-x，a∈R．
（Ⅰ）当a＝(1)/(4)时，求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）是否存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当a＝(1)/(4)时，f(x)＝ln(x+1)+(1)/(4)x2−x，
则f′(x)＝(1)/(x+1)+(1)/(2)x−1，
化简得f′(x)＝(x(x−1))/(2(x+1))（x＞-1）
∴函数f（x）在（-1，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
且f（0）=0，f(1)＝ln2−(3)/(4)，
∴函数y=f（x）在x=1处取到极小值为ln2−(3)/(4)，在x=0处取到极大值为0；
（Ⅱ）由题意f′(x)＝(x(2ax−(1−2a)))/(x+1)
①当a≤0时，函数f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
此时，不存在实数b∈（0，1），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）；
②当a＞0时，令f'（x）=0有x=0或x＝(1)/(2a)−1，
（a）当(1)/(2a)−1＜0即a＞(1)/(2)时，
函数f（x）在(−1，(1)/(2a)−1)和（0，+∞）上单调递增，
在((1)/(2a)−1，0)上单调递减，
要存在实数b∈（0，1），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），
则f((1)/(2a)−1)＜f(1)，代入化简得ln2a+(1)/(4a)+ln2−1＞0（1）
令g(a)＝ln2a+(1)/(4a)+ln2−1(a＞(1)/(2))，
因g′(a)＝(1)/(a)(1−(1)/(4a))＞0恒成立，
故恒有g(a)＞g((1)/(2))＝ln2−(1)/(2)＞0，
∴a＞(1)/(2)时，（1）式恒成立；
（b）当(1)/(2a)−1＞0即0＜a＜(1)/(2)时，函数f（x）在（-1，0）和((1)/(2a)−1，+∞)上单调递增，
在(0，(1)/(2a)−1)上单调递减，
此时由题，只需f（1）＞0，解得a＞1-ln2，
又1−ln2＜(1)/(2作业帮用户2017-10-31问题解析（Ⅰ）当a＝(1)/(4)时，f(x)＝ln(x+1)+(1)/(4)x2−x，则f′(x)＝(1)/(x+1)+(1)/(2)x−1，化简得f′(x)＝(x(x−1))/(2(x+1))（x＞-1），从而得到函数的单调区间，极值点，求出极值．（Ⅱ）由题意分别求出函数的导数，再讨论①当a≤0时②当a＞0时的情况，最后确定出a的取值范围．名师点评本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．考点点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)