设函数f（x）=（1+x）α的定义域是[-1，+∞），其中常数α＞0．（1）若α＞1，求y=f（x）的过原点的切线方程．（2）当α＞2时，求最大实数A，使不等式f（x）＞1+αx+Ax2对x＞0恒成立．（3）证明

Question

设函数f（x）=（1+x）^α的定义域是[-1，+∞），其中常数α＞0．
（1）若α＞1，求y=f（x）的过原点的切线方程．
（2）当α＞2时，求最大实数A，使不等式f（x）＞1+αx+Ax²对x＞0恒成立．
（3）证明当α＞1时，对任何n∈N^*，有1＜(1)/(n)

n+1

k＝2

（（(k−1)/(k)）^α+(α)/(k)）＜α．

Answer 1

（1）∵f（x）=（1+x）^α，∴f′（x）=α（1+x）^α-1．
若切点为原点，由f′（0）=α知切线方程为y=αx+1； 
若切点不为原点，设切点为（x₀，（1+x₀）^α），
∴由切线过原点可知((1+x0)α)/(x0)=α（1+x₀）^α-1在（-1，+∞）内有唯一的根x₀=(1)/(α−1)
∵f′（(1)/(α−1)）=(αα)/((α−1)α−1)，
∴切线方程为y=(αα)/((α−1)α−1)x+((α)/(α−1))n
综上，所求切线有两条：y=αx+1和y=(αα)/((α−1)α−1)x+((α)/(α−1))n；
（2）令g（x）=f（x）-1-αx-Ax²，则g（0）=0，g′（x）=α（1+x）^α-1-α-2Ax，
显然g′（0）=0，且g′（x）的导函数为g″（x）=α（α-1）（1+x）^α-2-2A．
若A≤(α(α−1))/(2)，则(2A)/(α(α−1))≤1，由α＞2知（1+x）^α-2＞1对x＞0恒成立，从而对x＞0恒有g″（x）＞0，
即g′（x）在（0，+∞）上单调增，从而g′（x）＞g′（0）=0对x＞0恒成立，从而g（x）在（0，+∞）单调增，
∴g（x）＞g（0）=0对x＞0恒成立．
若A＞(α(α−1))/(2)，则(2A)/(α(α−1))＞1，由α＞2知知存在x₀＞0，使得（1+x）^α-2＜(2A)/(α(α−1))对x∈（0，x₀）恒成立，即g″（x）＜0对x∈（0，x₀）恒成立，
由g′（0）=0知存在x₁＞0，使得g′（x）＜0对x∈（0，x₁）恒成立，
∵g（0）=0，∴g（x）＞0不能对x＞0恒成立，
综上，最大实数A是(α(α−1))/(2)；
（3）证明：当α＞1时，令h（x）=f（x）-αx，则h′（x）=α[（1+x）^α-1-1]，
∴x∈（-1，0）时，h′（x）＜0，
即h（x）=f（x）-αx在[-1，0]上单调递减，∴h（0）＜h（x）＜h（-1）对x∈（-1，0）恒成立，
∵h（0）=1，h（-1）=α，
∴1＜h（x）＜α，
即对x∈（-1，0）恒有1＜（1+x）^α-αx＜α，
在此不等式中x=-(1)/(2)，-(1)/(3)，…，-(1)/(n+1)
∴1＜(1−(1)/(2))α+(α)/(2)＜α，1＜(1−(1)/(3))α+(α)/(3)＜α，1＜(1−(1)/(4))α+(α)/(4)＜α，1＜(1−(1)/(5))α+(α)/(5)＜α，
…1＜(1−(1)/(n+1))α+(α)/(n+1)＜α，
将以上不等式相加得：n＜

n+1

k＝2

(1−(1)/(k))α+(α)/(k)＜nα，
即1＜(1)/(n)

n+1

k＝2

(((k−1)/(k))α+(α)/(k))＜α．