（Ⅰ）讨论函数f（x）=x-2x+2ex的单调性，并证明当x>0时，（x-2）ex+x+2>0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=ex-ax-ax2（x>0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的

Question

（Ⅰ）讨论函数f（x）=(x-2)/(x+2)e^x的单调性，并证明当x>0时，（x-2）e^x+x+2>0；
（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=(ex-ax-a)/(x2)（x>0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．

Answer 1

（1）证明：f（x）=(x-2)/(x+2)ex
f'（x）=e^x（(x-2)/(x+2)+(4)/((x+2)2)）=(x2ex)/((x+2)2)
∵当x∈（-∞，-2）∪（-2，+∞）时，f'（x）>0
∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增
∴x>0时，(x-2)/(x+2)ex>f（0）=-1
即（x-2）e^x+x+2>0
（2）g'（x）=((ex-a)x2-2x(ex-ax-a))/(x4)=(x(xex-2ex+ax+2a))/(x4)=((x+2)((x-2)/(x+2)•ex+a))/(x3) 
a∈[0，1）
由（1）知，当x>0时，f（x）=(x-2)/(x+2)ex的值域为（-1，+∞），只有一解使得
(t-2)/(t+2)•et=-a，t∈[0，2]
当x∈（0，t）时，g'（x）<0，g（x）单调减；
当x∈（t，+∞），g'（x）>0，g（x）单调增；
h（a）=(et-a(t+1))/(t2)=(et+(t+1)(t-2)/(t+2)•et)/(t2)=(et)/(t+2)
记k（t）=(et)/(t+2)，在t∈（0，2]时，k'（t）=(et(t+1))/((t+2)2)>0，
故k（t）单调递增，
所以h（a）=k（t）∈（(1)/(2)，(e2)/(4)]．