如图，在等边△ABC中，P是BC下方一动点，且∠BPC=120°，PB、PC是关于x的方程（a-1）x2-9（a-1）x+b=c的两实数根，求PA的长．

Question

如图，在等边△ABC中，P是BC下方一动点，且∠BPC=120°，PB、PC是关于x的方程（a-1）x²-9（a-1）x+b=c的两实数根，求PA的长．

Answer 1

延长BP到D，使得DP=PC，连接CD．
∵∠BPC=120，
∴∠CPD=60．
又∵PC=PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴PC=CD，∠PCD=60°，
∴∠ACB+∠BCP=PCD+∠BCP，
即∠ACP=∠BCD．
∵等边三角形ABC中，
∴BC=AC．
在△DBC和△PAC中，

BC=CA

∠BCD=∠ACP

CD=CP

，
∴△DBC≌△PAC，
∴AP=BD．
∵BD=BP+DP，
∴AP=BP+DP，
∵DP=PC，
∴PA=PB+PC．
∵PB、PC是关于x的方程（a-1）x²-9（a-1）x+b=c的两实数根，
∴PB+PC=9，
∴PA=9．