设x1,x2是实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根,若x1是虚数,x1^2/x2是实数是实数,则S=1+x1/x2+(x1/x2)^2+(x1/x2)^4+...+(x1/x2)^(2^1999)的值为

Question

设x1,x2是实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根,若x1是虚数,x1^2/x2是实数是实数,则S=1+x1/x2+(x1/x2)^2+(x1/x2)^4+...+(x1/x2)^(2^1999)的值为___

Answer 1

琢磨了好久
我想这样吧 X1+X2=-b/a 是一个实数,又x1是虚数 ,所以X2也一定是虚数,并且X1与X2的虚部互为相反数.X1X2=c/a 是一个实数,并且X1与X2的虚部互为相反数,所以X1 和X2的实部也必然相等,一句话,X1和X2是互为共轭复数
不妨设X1=a+bi,X2=a-bi则(x1/x2)=（a^2-b^2+2abi)/（a^2+b^2)是一个实数,所以ab=0,
因为X1是虚数,所以a=0,b≠0
所以X1=bi X2=-bi
此时x1^2/x2是实数,满足题给条件
至此(x1/x2)=-1,所以原式1-1+1999=1999