如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE=α，P是BC中点，（1）求证：DP=EP；（2）求∠DPE的度数．

Question

如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE=α，P是BC中点，

（1）求证：DP=EP；  
（2）求∠DPE的度数．

Answer 1

（1）证明：如图，取AB、AC的中点，连接PM、DM，PN、EN，
∵P是BC中点，
∴PM、PN都是△ABC的中位线，
∴PM∥AC，PN∥AB，PM=(1)/(2)AC，PN=(1)/(2)AB，
∵△ABD和△ACE都是直角三角形，
∴DM=(1)/(2)AB，NE=(1)/(2)AC，
∴DM=PN，MP=NE，
∵∠PMD=∠BMD+∠BMP=2∠BAD+∠BAC=2（90°-α）+∠BAC，
∠PNE=∠CNE+∠CNP=2∠CAE+∠BAC=2（90°-α）+∠BAC，
∴∠PMD=∠PNE，
在△PDM和△EPN中，

DM=PN

∠PMD=∠PNE

MP=NE

，
∴△PDM≌△EPN（SAS），
∴DP=EP；
（2） 设∠PDM=x，∠DPM=y，
∵∠ABD=∠ACE=α，
∴∠ADM=∠BAD=∠AEN=∠CAE=90°-α，
∴∠ADP=x+90°-α，∠AEP=y+90°-α，
∵PM∥AC，PN∥AB，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴∠MPN=∠BAC，
在四边形ADPE中，（x+90°-α）+（x+∠MPN+y）+（y+90°-α）+2（90°-α）+∠BAC=360°，
解得x+y+∠BAC=2α，
∴∠DPE=y+∠BAC+x=2α．