圆0和圆01交于A,B,过A做圆01的切线交圆0于点C,过点B做两个圆的割线分别交圆0,圆01于E,F,EF与AC交于点P,若圆0与圆01为等圆,且PC:CE:EP=3:4:5,求三角形ECP与三角形FAP的面积的比值?

Question

圆0和圆01交于A,B,过A做圆01的切线交圆0于点C,过点B做两个圆的割线分别交圆0,圆01于E,F,EF与AC交于点P,
若圆0与圆01为等圆,且PC:CE:EP=3:4:5,求三角形ECP与三角形FAP的面积的比值?

Answer 1

连接AB,
∵CA切⊙O'于A,
∴∠CAB=∠F．
∵∠CAB=∠E,
∴∠E=∠F．
∴AF∥CE．
∴ PE/PF=PC/PA．
∴△PEC∽△PFA,
连接AE,△PEC∽△PFA,
而PC：CE：EP=3：4：5,
∴PA：FA：PF=3：4：5．
设PC=3x,CE=4x,EP=5x,PA=3y,FA=4y,PF=5y,
∴EP²=PC²+CE²,PF²=PA²+FA²．
∴∠C=∠CAF=90°．
∴AE为⊙O的直径,AF为⊙O'的直径．
∵⊙O与⊙O'等圆,
∴AE=AF=4y．
∵AC²+CE²=AE²
∴（3x+3y）²+（4x）²=（4y）²即25x²+18xy-7y²=0,
∴（25x-7y）（x+y）=0,
∴ x/y=7/25．
∴ S△ECP：S△FAP=x²/y²=49/625．