抛物线l：y=-x2+4ax+b（a>0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（a+3，2）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，如图所示，直线y=12x+1与抛物线交于点C，D（1）当抛物线l过点P时

Question

抛物线l：y=-x²+4ax+b（a>0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（a+3，2）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，如图所示，直线y=(1)/(2)x+1与抛物线交于点C，D

（1）当抛物线l过点P时，求抛物线l的解析式；
（2）当a=3时，求OA的长，并证明抛物线l的对称轴过点P；
（3）把l在直线BM右侧的部分（含点B）记为G，用a表示图象G最高点N的坐标；
（4）当抛物线l与直线y=(1)/(2)x+1的一个交点的横坐标为x₀，且满足6≤x₀≤10时，直接写出a的取值范围．

Answer 1

（1）∵y=-x²+4ax+b（a>0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），
∴b=0，
把P（a+3，2）的坐标代入y=-x²+4ax得到，2=-（a+3）²+4a（a+3），解得a=(-3+√(42))/(3)或(-3-√(42))/(3)，
∵a>0，
∴a=(-3+√(42))/(3)，
∴抛物线l的解析式为y=-x²+(4√(42)-12)/(3)x．

（2）当a=3时，抛物线为y=-x²+12x，
令y=0，-x²+12x=0，解得x=0或12，
∴A（12，0），
∴OA=12，
∵P（6，2），抛物线y=-x²+12x的对称轴x=-(12)/(-2)=6，
∴点P在抛物线的对称轴上．

（3）∵y=-x²+4ax=-（x-2a）²+4a²，
∴抛物线的对称轴x=2a，
①当a+3<2a，即a>3时，N（a+3，3a²+6a-9）．
②当a+3=2a，即a=3时，N（6，36）．
③当a+3>2a时，即0<a<3时，N（2a，4a²）．

（4）对于直线y=(1)/(2)x+1，x=6时，y=4，x=10时，y=6，
把（6，4）的坐标代入y=-x²+4ax得a=(5)/(3)，
把（10，6）的坐标代入y=-x²+4ax得a=(53)/(20)，
∴a的范围(5)/(3)≤a≤(53)/(20)．