在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点A(0,4)B(1,0)C（5,0）抛物线对称轴与X轴交于M.(1）求抛物线解析式（2）设点P为抛物线（X＞5）上一点,若以A,O,M,P为顶点的四边形的长度为四个连续正整数,

Question

在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点A(0,4)B(1,0)C（5,0）抛物线对称轴与X轴交于M.(1）求抛物线解析式
（2）设点P为抛物线（X＞5）上一点,若以A,O,M,P为顶点的四边形的长度为四个连续正整数,请你直接写出点P坐标.
（3）连接AC,探索AC下方抛物线是否有一点N,使△NAC面积最大?若存在,请你求出N点坐标,若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5）,
把点A（0,4）代入上式得：a=45,
∴y=45（x-1）（x-5）=45x2-245x+4=45（x-3）2-165,
∴抛物线的对称轴是：x=3；
（2）P点坐标为：（6,4）,
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,
又∵点P的坐标中x＞5,
∴MP＞2,AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,
在Rt△AOM中,AM=OA2+OM2=42+32=5,
∵抛物线对称轴过点M,
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,
即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立,
即P（6,4）；
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t,此时点N（t,45t2-245t+4）（0＜t＜5）,
过点N作NG∥y轴交AC于G；作AM⊥NG于M,
由点A（0,4）和点C（5,0）可求出直线AC的解析式为：y=-45x+4；
把x=t代入得：y=-45x+4,则G（t,-45t+4）,
此时：NG=-45x+4-（45t2-245t+4）=-45t2+4t,
∵AM+CF=CO,
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=12AM×NG+12NG×CF=12NG•OC=12（-45t2+4t）×5=-2t2+10t=-2（t-52）2+252,
∴当t=52时,△CAN面积的最大值为252,
由t=52,得：y=45t2-245t+4=-3,
∴N（52,-3）．