已知关于x函数g（x）=2x+alnx（a∈R），f（x）=x2+g（x），（Ⅰ）试讨论函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，试证f（x）在区间（0，1）内有极值．

Question

已知关于x函数g（x）=(2)/(x)+alnx（a∈R），f（x）=x²+g（x），
（Ⅰ）试讨论函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，试证f（x）在区间（0，1）内有极值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意g（x）的定义域为（0，+∞）
∵g（x）=(2)/(x)+alnx
∴g′（x）=-(2)/(x2)+(a)/(x)=(ax−2)/(x2)
（i）若a≤0，则g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，（0，+∞）为其单调递减区间；
（ii）若a＞0，则由g′（x）=0得x=(2)/(a)，
x∈（0，(2)/(a)）时，g′（x）＜0；x∈（(2)/(a)，+∝）时，g′（x）＞0，
所以（0，(2)/(a)）为其单调递减区间；（(2)/(a)，+∝）为其单调递增区间；
（Ⅱ）∵f（x）=x²+g（x），
所以f（x）的定义域也为（0，+∞），且f^′（x）=（x²）^′+g′（x）=2x+(ax−2)/(x2)=(2x3+ax−2)/(x2)
令h（x）=2x³+ax-2，x∈（0，+∞）
因为a＞0，则令h′（x）=6x²+a＞0，所以h（x）为[0，+∞）上的单调递增函数，又h（0）=-2＜0，h（1）=a＞0，
所以在区间（0，+1）内h（x）至少存在一个变号零点x₀，且x₀也是f′（x）的变号零点，所以f（x）在区间（0，+1）内有极值．