已知关于x的二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，当-3＜x＜2时，函数值y＜0；当x＜-3或x＞2时，函数值y＞0．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在

Question

已知关于x的二次函数y=x²+mx+n的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，当-3＜x＜2时，函数值y＜0；当x＜-3或x＞2时，函数值y＞0．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在直线y=-5上是否存在点P，使得∠APB=∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵二次函数y=x²+mx+n，当-3＜x＜2时，函数值y＜0；当x＜-3或x＞2时，函数值y＞0，
∴二次函数y=x²+mx+n过点A（-3，0），B（2，0），
把A，B点代入二次函数解析式得：

9−3m+n＝0

4+2m+n＝0

，
解得：

m＝1

n＝−6

，
∴二次函数的解析式为：y=x²+x-6；

（2）如图所示：过点B作BD⊥AC于点D，
当x=0，则y=-6，
∴CO=6，
∵A（-3，0），B（2，0），
∴AO=3，BO=2，AB=5，
∴AC=√(32+62)=3√(5)，BC=2√(10)，
∴DB×AC=AB×CO，
∴BD=(AB×CO)/(AC)=(5×6)/(3√(5))=2√(5)，
∴sin∠DCB=(DB)/(BC)=(2√(5))/(2√(10))=(√(2))/(2)，
∴∠DCB=45°，
当∠APB=∠ACB，即∠APB=∠ACB=45°，
∵AB=5，点P在直线y=-5上，
∴当PA⊥AB垂足为A时，PA=AB，∠BAP=90°，
∴∠APB=∠ABP=45°，此时P点坐标为：（-3，-5），
当∠AP′B=∠ACB，即∠AP′B=∠ACB=45°，
∵AB=5，点P′在直线y=-5上，
∴当P′B⊥AB垂足为B时，P′A=AB，∠P′BA=90°，
∴∠AP′B=∠BAP′=45°，此时P′点坐标为：（2，-5），
综上所述：在直线y=-5上是否存在点P，使得∠APB=∠ACB，点P的坐标分别为：（-3，-5），（2，-5）．