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设f(x)连续,g(x)=∫(1,0)f(xt)dt,且limx→0f(x)/x=A,求g'(x).如题
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设f(x)连续,g(x) =∫(1,0)f(xt)dt,且lim x→0 f(x)/x =A,求 g'(x).
如题
如题
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答案和解析
x>0时,g(x)=∫(0,1)f(xt)(1/x)dxt=1/x∫(0,x)f(y)dy.
所以
g'(x)=(-1/x^2)∫(0,x)f(y)dy + f(x)/x.
x=0时,lim x→0 f(x)/x =A,所以lim x→0 f(x)=0,所以f(0)=0,所以g(0)=0.所以
g'(0)=lim x→0 g(x)/x=lim x→0 ∫(0,1)f(xt)/x dt=∫(0,1)lim x→0 f(xt)/(xt)*tdt=∫(0,1)Atdt=A/2.
所以
g'(x)=(-1/x^2)∫(0,x)f(y)dy + f(x)/x.
x=0时,lim x→0 f(x)/x =A,所以lim x→0 f(x)=0,所以f(0)=0,所以g(0)=0.所以
g'(0)=lim x→0 g(x)/x=lim x→0 ∫(0,1)f(xt)/x dt=∫(0,1)lim x→0 f(xt)/(xt)*tdt=∫(0,1)Atdt=A/2.
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