高等数学综合题：已知函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)>0,设函数F(x)=∫[a→x]f(t)dt+∫[b→x]1/f(t)dt,x∈[a,b].(1)证明F’(x)≥2（2）证明方程F（x）=0在区间（a,b）内有且仅有一个根.

Question

高等数学综合题：
已知函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)>0,设函数
F(x)=∫[a→x]f(t)dt+∫[b→x] 1/f(t) dt ,x∈[a,b] .
(1)证明F’(x)≥2
（2）证明方程F（x）=0在区间（a,b）内有且仅有一个根.

Answer 1

F’(x)=f(t)+1/f(t),f(x)>0,用高中学的均值不等式,F’(x)≥2
至于这个导数怎么求的,可以利用积分的可加性就可以变成最原始的积分上限函数减去两个定积分,定积分是常数,求导得0,所以积分上限函数不管下限是几,求导都是里面的那个东西
第二题,函数单调,f(a)=-∫[a→b] 1/f(t) dt 小于0,f(b)>0,所以由中值定理,有且只有一个根