设f∈C[-l，l]，f（x）在x=0处可导，且f′（0）≠0，（1）求证：∀x∈（0，l），∃θ∈（0，1），使得∫x0f(t)dt+∫−x0f(t)dt=x[f（θx）-f（-θx）]．（2）求极限limx→0+θ．

Question

设f∈C[-l，l]，f（x）在x=0处可导，且f′（0）≠0，
（1）求证：∀x∈（0，l），∃θ∈（0，1），使得

∫

x  0

f(t)dt+

∫

−x  0

f(t)dt=x[f（θx）-f（-θx）]．
（2）求极限

lim

x→0+

θ．

Answer 1

（1）记F(x)＝

∫

x  0

f(t)dt+

∫

−x  0

f(t)dt，x∈[0，1]，则F（x）在区间[0，1]上连续、可导，且F′（x）=f（x）-f（-x）．
：∀x∈（0，l），对F（x）在区间[0，x]上利用Lagrange中值定理即得，
∃θ∈（0，1），使得F（x）-F（0）=F′（θx）x，
即：

∫

x  0

f(t)dt+

∫

−x  0

f(t)dt=x[f（θx）-f（-θx）]．
（2）由（1）可得：(∫x0f(t)dt+∫−x0f(t)dt)/(x2)＝ θ((f(θ x)−f(0))/(θx)+(f(−θ x)−f(0))/(−θx))，
又因为

lim

x→0

((f(θx)−f(0))/(θx)+(f(−θx)−f(0))/(−θx)) (u＝θx.)/()

lim

u→0

((f(u)−f(0))/(u)+(f(−u)−f(0))/(−u))=2f′（0），
因此，2f′(0)

lim

x→0+

θ＝

lim

x→0+

(∫x0f(t)dt+∫−x0f(t)dt)/(x2)＝

lim

x→0+

(f(x)−f(−x))/(2x)=(1)/(2)

lim

x→0+

((f(x)−f(0))/(x)+(f(−x)−f(0))/(−x))＝f′(0)．
由于f′（0）≠0，所以

lim

x→0+

θ＝(1)/(2)．