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（2011•北京模拟）设f（x）在区间[0，1]上连续，试证明存在ξ∈（0，1），使∫ξ0f（t）dt=（1-ξ）f（ξ）．
题目详情
（2011•北京模拟）设f（x）在区间[0，1]上连续，试证明存在ξ∈（0，1），使
f（t）dt=（1-ξ）f（ξ）．
| ∫ | ξ 0 |
▼优质解答
答案和解析
证明：令φ(x)＝
f(t)dt−x
f(t)dt，则有
φ（0）=φ（1）=0，
故φ（x）在[0，1]上满足罗尔定理，
从而可知，存在ξ∈（0，1）使得φ′（ξ）=0，
即：f(ξ)−
f(t)dt−ξf(ξ)＝0
从而
f(t)dt＝(1−ξ)f(ξ)．
为证明ξ的唯一性，用反证法．
设存在ξ1＜ξ2，ξ1，ξ2∈（0，1）使得
f(t)dt＝(1−ξ1)f(ξ1)，①
f(t)dt＝(1−ξ2)f(ξ2)．②
两式相减，①-②可得：
f(t)dt＝(1−ξ2)f(ξ2)−f(ξ1)−(ξ2−ξ1)f(ξ1)．
由已知条件知左边为正，右边为负，矛盾，
所以结论成立．
| ∫ | x 0 |
| ∫ | x 0 |
φ（0）=φ（1）=0，
故φ（x）在[0，1]上满足罗尔定理，
从而可知，存在ξ∈（0，1）使得φ′（ξ）=0，
即：f(ξ)−
| ∫ | ξ 0 |
从而
| ∫ | ξ 0 |
为证明ξ的唯一性，用反证法．
设存在ξ1＜ξ2，ξ1，ξ2∈（0，1）使得
| ∫ | ξ1 0 |
| ∫ | ξ2 0 |
两式相减，①-②可得：
| ∫ | ξ2 ξ1 |
由已知条件知左边为正，右边为负，矛盾，
所以结论成立．
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