如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且cosα=45.下列给出的结论中,正确的有()①△ADE∽△ACD;②当BD=6时,△ABC与△DCE全等
如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且cosα=
.下列给出的结论中,正确的有( )4 5
①△ADE∽△ACD;
②当BD=6时,△ABC与△DCE全等;
③△DCE为直角三角形时,BD为8或12.5;
④0<CE≤6.4.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
∴∠B=∠C,
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C,
∴△ADE∽△ACD;
故①正确,
②作AG⊥BC于G,
∵AB=AC=10,∠ADE=∠B=α,cosα=
4 |
5 |
∴BG=ABcosB,
∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×
4 |
5 |
∵BD=6,
∴DC=10,
∴AB=DC,
在△ABD与△DCE中,
|
∴△ABD≌△DCE(ASA).
故②正确,
③当∠AED=90°时,由①可知:△ADE∽△ACD,
∴∠ADC=∠AED,
∵∠AED=90°,
∴∠ADC=90°,
即AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=CD,
∴∠ADE=∠B=α且cosα=
4 |
5 |
BD=8.
当∠CDE=90°时,易△CDE∽△BAD,
∵∠CDE=90°,
∴∠BAD=90°,
∵∠B=α且cosα=
4 |
5 |
∴cosB=
AB |
BD |
4 |
5 |
∴BD=12.5.
故③正确.
④易证得△CDE∽△BAD,由②可知BC=16,
设BD=y,CE=x,
∴
AB |
DC |
BD |
CE |
∴
10 |
16-y |
y |
x |
整理得:y2-16y+64=64-10x,
即(y-8)2=64-10x,
∴0<x≤6.4.
故④正确.
正确的有①②③④.
故选:D.
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