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(2013•昆明)如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A,B重合),对角线AC,BD相交于点O,过点P分别作AC,BD的垂线,分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点M,N.下列结论:①△APE≌△AM

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(2013•昆明)如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A,B重合),对角线AC,BD相交于点O,过点P分别作AC,BD的垂线,分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点M,N.下列结论:
①△APE≌△AME;
②PM+PN=AC;
③PE2+PF2=PO2
④△POF∽△BNF;
⑤当△PMN∽△AMP时,点P是AB的中点.
其中正确的结论有(  )

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
▼优质解答
答案和解析
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠DAC=45°.
∵在△APE和△AME中,
∠BAC=∠DAC
AE=AE
∠AEP=∠AEM

∴△APE≌△AME,故①正确;
∴PE=EM=
1
2
PM,
同理,FP=FN=
1
2
NP.
∵正方形ABCD中AC⊥BD,
又∵PE⊥AC,PF⊥BD,
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°,且△APE中AE=PE
∴四边形PEOF是矩形.
∴PF=OE,
∴PE+PF=OA,
又∵PE=EM=
1
2
PM,FP=FN=
1
2
NP,OA=
1
2
AC,
∴PM+PN=AC,故②正确;
∵四边形PEOF是矩形,
∴PE=OF,
在直角△OPF中,OF2+PF2=PO2
∴PE2+PF2=PO2,故③正确.
∵△BNF是等腰直角三角形,而△POF不一定是,故④错误;
∵△AMP是等腰直角三角形,当△PMN∽△AMP时,△PMN是等腰直角三角形.
∴PM=PN,
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形,
∴AP=BP,即P是AB的中点.故⑤正确.
故选B.
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