如图所示，虚线圆的半径为R，AC为光滑竖直轩，AB与BC构成直角的L形轨道，小球与AB、BC，轨道间的动摩擦因数均为μ，ABC三点正好是圆上三点，而AC正好为该圆的直径，AB与AC的夹角为α，如

Question

如图所示，虚线圆的半径为R，AC为光滑竖直轩，AB 与BC构成直角的L形轨道，小球与AB、BC，轨道间的动摩擦因数均为μ，ABC三点正好是圆上三点，而AC正好为该圆的直径，AB与AC的夹角为α，如果套在AC杆上的小球自A点静止释放，分别沿ABC轨道和AC直轨道运动，忽略小球滑过B处时能量损耗．求：

（1）小球在AB轨道上运动的加速度；
（2）小球沿ABC轨道运动到达C点时的速率；
（3）若AB、BC、AC轨道均光滑，如果沿ABC轨道运动到达C点的时间与沿AC直轨道运动到达C点的时间之比为5：3，求α角的正切值．

Answer 1

（1）从A到B，由牛顿第二定律得：
mgcosα-μmgsinα=ma
解得：a=gcosα-μgsinα
（2）小球沿ABC轨道运动，从A到C，由动能定理可得：
(1)/(2)m

v

2 C

=mg•2R-2μmg•2Rcosαsinα
解得：v_C=2√(gR-μgRsin2α)
（3）设小球沿AC直导轨做自由落体运动，运动时间为t，则有：
2R=(1)/(2)gt2
解得：t=2√((R)/(g))
轨道均光滑，小球由A到B机械能守恒，设B点的速度为v_B，则有：
mg•2R•cos²α=(1)/(2)m

v

2 B

解得：v_B=2√(gR)cosα
且依等时圆，t_AB=t，则B到C的时间为：t_BC=(5)/(3)t-t=(2)/(3)t=(4)/(3)√((R)/(g))
以后沿BC直导轨运动的加速度为：a′=gsinα，
且BC=2Rsinα
故2Rsinα=v_Bt_BC+(1)/(2)a′

t

2 BC

代入数据解得：tanα=2.4
答：（1）小球在AB轨道上运动的加速度是gcosα-μgsinα；
（2）小球沿ABC轨道运动到达C点时的速率是2√(gR)cosα；
（3）α角的正切值是2.4．