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如图1,正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P是线段AO上(不与A、O重合)的一个动点,过点P作PE⊥PB且交边CD于点E.(1)求证:PB=PE;(2)过点E作EF⊥AC于点F,如图2,若正方形ABCD的边长
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如图1,正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P是线段AO上(不与A、O重合)的一个动点,过点P作PE⊥PB且交边CD于点E.
(1)求证:PB=PE;
(2)过点E作EF⊥AC于点F,如图2,若正方形ABCD的边长为2,则在点P运动的过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,请直接写出这个不变的值;若变化,请说明理由.
(1)求证:PB=PE;
(2)过点E作EF⊥AC于点F,如图2,若正方形ABCD的边长为2,则在点P运动的过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,请直接写出这个不变的值;若变化,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:
如图1,过P作MN∥AD,交AB于M,交CD于N,
∵PB⊥PE,
∴∠BPE=90°,
∴∠MPB+∠EPN=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=90°,
∵AD∥MN,
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°,
∴∠MPB+∠MBP=90°,
∴∠EPN=∠MBP,
Rt△PNC中,∠PCN=45°,
∴△PNC是等腰直角三角形,
∴PN=CN,
∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°,
∴四边形MBCN是矩形,
∴BM=CN,
∴BM=PN,
∴△BMP≌△PNE(ASA),
∴PB=PE;
(2)在P点运动的过程中,PF的长度不发生变化,理由是:
如图2,连接OB,
∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点,
∴OB⊥AC,
∴∠AOB=90°,
∴∠AOB=∠EFP=90°,
∴∠OBP+∠BPO=90°,
∵∠BPE=90°,
∴∠BPO+∠OPE=90°,
∴∠OBP=∠OPE,
由(1)得:PB=PE,
∴△OBP≌△FPE,
∴PF=OB,
∵AB=2,△ABO是等腰直角三角形,
∴OB=
=
,
∴PF为定值是
.
如图1,过P作MN∥AD,交AB于M,交CD于N,
∵PB⊥PE,
∴∠BPE=90°,
∴∠MPB+∠EPN=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=90°,
∵AD∥MN,
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°,
∴∠MPB+∠MBP=90°,
∴∠EPN=∠MBP,
Rt△PNC中,∠PCN=45°,
∴△PNC是等腰直角三角形,
∴PN=CN,
∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°,
∴四边形MBCN是矩形,
∴BM=CN,
∴BM=PN,
∴△BMP≌△PNE(ASA),
∴PB=PE;
(2)在P点运动的过程中,PF的长度不发生变化,理由是:
如图2,连接OB,
∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点,
∴OB⊥AC,
∴∠AOB=90°,
∴∠AOB=∠EFP=90°,
∴∠OBP+∠BPO=90°,
∵∠BPE=90°,
∴∠BPO+∠OPE=90°,
∴∠OBP=∠OPE,
由(1)得:PB=PE,
∴△OBP≌△FPE,
∴PF=OB,
∵AB=2,△ABO是等腰直角三角形,
∴OB=
2 | ||
|
2 |
∴PF为定值是
2 |
看了 如图1,正方形ABCD中,点...的网友还看了以下:
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