正方形ABCD,E为对角线AC上一动点连BE,EG⊥BE交CD与G,连BG交AC于F,BE=EG（1）作EM⊥AB于M,FN⊥BC于N,当点E在AC上运动时（E,F不与A,C重合）求证AB的平方=2BM×BN（2）若CF=1,EF=3求BG的长

Question

正方形ABCD,E为对角线AC上一动点连BE,EG⊥BE交CD与G,连BG交AC于F ,BE=EG
（1）作EM⊥AB于M,FN⊥BC于N,当点E在AC上运动时（E,F不与A,C重合）求证AB的平方=2BM×BN （2）若CF=1,EF=3求BG的长

Answer 1

⑴∵ABCD是正方形
∴AB=BC=a,∠MAE=∠FCN=45º
∵EM⊥AB,FN⊥BC
∴∠MAE=∠AEM=45º,∠NFC=∠FCN=45º
∴MA=MA=x,FN=CN=y
∴AE=√2x,FC=√2y,EF=√2﹙a-x-y﹚
∵EG⊥BE,BE=EG
∴∠EBG=∠EGB=45º
过E作AH⊥AC,取AH=CF=√2y
则∠HAB=45º=∠FCB
∴△AHB≌△BFC
∴HB=BF,∠ABH=∠CBF
∴∠HBE=∠ABE+∠FBC=90º-45º=45º=∠EBF,BE=BE
∴EF=EH=√2﹙a-x-y﹚
在Rt△HAE中,HE²=AH²+AE²
∴2﹙a-x-y﹚²=2x²+2y²
∴-ax-ay+xy=-½a²
则2BM×BN=2﹙a-x﹚﹙a-y﹚=2﹙a²-ax-ay+xy﹚=a²
∴AB²=2BM×BN
⑵由⑴得：FE²=CF²+AE²,CF=1,EF=3（√2y=1,√2﹙a-x-y﹚=3）
∴AE=2√2
即√2x=2√2,∴x=2（√2y=1,√2﹙a-x-y﹚=3）
∴√2a-2√2-1=3
∴a=2+2√2
∴BM=AB-AM=a-x=2√2
∴EG²=BE²=BM²+ME²=8+4=12
∴BG=√﹙BE²+EG²﹚=2√6