已知F1，F2是双曲线y2a2-x2b2=1（a＞0，b＞0）的下、上焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A.2B.2C.3D.3

Question

已知F₁，F₂是双曲线(y2)/(a2)-(x2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的下、上焦点，点F₂关于渐近线的对称点恰好落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（　　）
A. √(2)
B. 2
C. √(3)
D. 3

Answer 1

由题意，F₁（0，-c），F₂（0，c），一条渐近线方程为y=(a)/(b)x，则F₂到渐近线的距离为(bc)/(√(a2+b2))=b．
设F₂关于渐近线的对称点为M，F₂M与渐近线交于A，∴|MF₂|=2b，A为F₂M的中点，
又0是F₁F₂的中点，∴OA∥F₁M，∴∠F₁MF₂为直角，
∴△MF₁F₂为直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
∴c=2a，∴e=2．
故选：B．