已知椭圆E:X2/a2+Y2/b2=1(a＞b＞0）过点P（1,√2/2）,离心率e=√2/2.椭圆E方程X2/2+Y2/1=1过点M(0,2)的直线L与椭圆E相交于A,B两点1.当直线OA,OB的斜率之和为4/3时（其中0为坐标原点）,求直线L的斜率K2.求

Question

已知椭圆E:X2/a2+Y2/b2=1(a＞b＞0）过点P（1,√2/2）,离心率e=√2/2.椭圆E方程X2/2+Y2/1=1
过点M(0,2)的直线L与椭圆E相交于A,B两点
1.当直线OA,OB的斜率之和为4/3时（其中0为坐标原点）,求直线L的斜率K
2.求向量MA点乘向量MB的取值范围

Answer 1

1、设直线L：y=kx+2 ；设A(x1,kx1+2);B(x2,kx2+2) (x1＞x2)；
则A、B坐标满足：(x1)²/2+(kx1+2)²=1；：(x2)²/2+(kx2+2)²=1；
整理可知：x1,x2为方程(2k²+1)x²+8kx+6=0的两个解.
故x1+x2=-8k/(2k²+1));x1x2=6/(2k²+1)
又K(OA)=(kx1+2)/x1 ; K(OB)=(kx2+2)/x2 ；
则K(OA)+K(OB)=(kx1+2)/x1+(kx2+2)/x2=[2kx1x2+2(x1+x2)]/(x1x2)
=[12k/(2k²+1)-16k/(2k²+1)]/[6/(2k²+1)]
=-4k/(2k²+1)/[6/(2k²+1)]=-2k/3
当直线OA,OB的斜率之和为4/3时：则K(OA)+K(OB)=-2k/3=4/3 ;解之：k=-2；
故直线L的斜率k=-2
2、向量MA=(x1,kx1)；向量MB=(x2,kx2)；
则：MA*MB=x1x2+k²x1x2=6(1+k²)/(2k²+1)=[3(2k²+1)+3]/(2k²+1)
=3+3/(2k²+1)
因(2k²+1)x²+8kx+6=0有两个不同解x1,x2；则：64k²-24(2k²+1)＞0；
得：k²＞3/2；则MA*MB=3+3/(2k²+1)＜3+3/(2*3/2+1)=15/4
故MA*MB=3+3/(2k²+1)＜15/4