已知椭圆C:a^2分之x^2+b^2分之y^2=1(a大于0b大于0)焦点在x轴上它的一个顶点B与抛物线x^2=4y的焦点重合其离心率为双曲线x^2-y^2=3的离心率的倒数设F（-c,0）是左焦点点P(-c分之a^2,0)求过点P的直线

Question

已知椭圆C:a^2分之x^2+b^2分之y^2=1(a大于0b大于0)焦点在x轴上
它的一个顶点B与抛物线x^2=4y的焦点重合
其离心率为双曲线x^2-y^2=3的离心率的倒数
设F（-c,0）是左焦点 点P(-c分之a^2,0) 求过点P的直线与椭圆C交于AB两点 求三角形ABF面积的最大值

Answer 1

已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>0,b>0)焦点在x轴上；它的一个顶点B与抛物线x²=4y的焦点重合 ,其离心率为双曲线x²-y²=3的离心率的倒数；设F（-c,0）是左焦点,过点P(-a²/c,0) 的直线与椭圆C交于AB两点 求三角形ABF面积的最大值.
抛物线x²=4y的2p=4,p=2,p/2=1,故其焦点坐标为(0,1)；∴椭圆的短半轴b=1；
等轴双曲线x²/3-y²/3=1的a²=b²=3,c²=a²+b²=6,故该双曲线的离心率e=c/a=√2,于是得椭圆的离心率e=1/√2=√2/2；即有e=c/a=√(a²-1)/a=1/√2,由此解得a²=2,故椭圆方程为x²/2+y²=1.
左焦点F(-1,0)；点P(-2,0)；设过P的直线方程为y=k(x+2),代入椭圆方程得:
x²/2+k²(x+2)²=1,即有(1+2k²)x²+8k²x+8k²-2=0；设A(x₁,y₁)；B(x₂,y₂)；则：
x₁+x₂=-8k²/(1+2k²)；x₁x₂=(8k²-2)/(1+2k²)；
弦长︱AB︱=[√(1+k²)]√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂](代入上面的值,化简得)
=[1/(1+2k²)]√[8(1+k²)(1-2k²)]
点F到直线的距离h=︱-k+2k︱/√(1+k²)=k/√(1+k²)(基于对称性,取k>0）
于是得△ABF的面积S=(1/2)︱AB︱h=(1/2){√[8(1+k²)(1-2k²)]/(1+2k²)}[k/√(1+k²)]
=k√[2(1-2k²)]/(1+2k²),下面求S的最大值,为简化运算,取S²：
令Q=S²=2k²(1-2k²)/(1+2k²)²=（2k²-4k⁴)/(4k⁴+4k²+1)
再令dQ/dk=0,化简得(2k²+1)(6k²-1)=0,由于2k²+1≠0,故必有6k²-1=0,即当k=√(1/6)时Q获
得最大值,也就是S 获得最大值,Smax=(√2)/4(从求导开始到最后结果,运算过程都省略了)