已知椭圆的两个焦点分别为F1(-c，0)和F2(c，0)(c＞0)，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|，(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)求直线AB的斜率；(Ⅲ)设点C与点A关

Question

已知椭圆 的两个焦点分别为F ₁ (-c，0)和F ₂ (c，0)(c＞0)，过点 的直线与椭圆相交于A，B两点，且F ₁ A∥F ₂ B，|F ₁ A|=2|F ₂ B|，
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)求直线AB的斜率；
(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F ₂ B上有一点H(m，n)(m≠0)在△AF ₁ C的外接圆上，求 的值。

Answer 1

已知椭圆 的两个焦点分别为F ₁ (-c，0)和F ₂ (c，0)(c＞0)，过点 的直线与椭圆相交于A，B两点，且F ₁ A∥F ₂ B，|F ₁ A|=2|F ₂ B|，
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)求直线AB的斜率；
(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F ₂ B上有一点H(m，n)(m≠0)在△AF ₁ C的外接圆上，求 的值。

(Ⅰ)由F ₁ A∥F ₂ B且|F ₁ A|=2|F ₂ B|，得 ，
从而 ，整理，得 ，
故离心率为 。
(Ⅱ)由(Ⅰ)，得b ² =a ² -c ² =2c ² ，
所以椭圆的方程可写为2x ² +3y ² =6c ² ，
设直线AB的方程为 ，即y=k(x-3c)，
由已知设A(x ₁ ，y ₁ )，B（x ₂ ，y ₂ ），
则它们的坐标满足方程组 ，
消去y并整理，得(2+3k ² )x ² -18k ² cx+27k ² c ² -6c ² =0，
依题意， ，得 ，
而 ，①
，②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x ₁ +3c=2x ₂ ， ③
联立①③解得 ，
将x ₁ ，x ₂ 代入②中，解得 。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知x ₁ =0， ，
当 时，得 ，由已知得 ，
线段AF ₁ 的垂直平分线l的方程为 ，
直线l与x轴的交点 是△AF ₁ C的外接圆的圆心．
因此外接圆的方程为 ，
直线F ₂ B的方程为 ，
于是点H(m，n)的坐标满足方程组 ，
由m≠0，解得 ，
故 。
当 时，同理可得 。