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(2012•常州)在平面直角坐标系xOy中,已知动点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m>0),以点P为圆心,5m为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C、D两点(点D
题目详情
(2012•常州)在平面直角坐标系xOy中,已知动点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m>0),以点P为圆心,
m为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C、D两点(点D在点C的上方).点E为平行四边形DOPE的顶点(如图).
(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);
(2)连接DB、BE,设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D),连接EQ、BQ,试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?
(3)连接BC,求∠DBC-∠DBE的度数.
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(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);
(2)连接DB、BE,设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D),连接EQ、BQ,试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?
(3)连接BC,求∠DBC-∠DBE的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图①,连接PB,过点P作PM⊥x轴于点M.
由题意可知,OM=PM=m,PB=
m.
在Rt△PBM中,由勾股定理得:
BM=
=
=2m,
∴OB=OM+BM=m+2m=3m,
∴B(3m,0);
连接PD,过点P作PN⊥y轴于点N,同理可求得DN=2m,OD=3m.
过点D作DR⊥PE于点R,
∵平行四边形DOPE,∴∠ODE+∠DOP=180°;
由题意可知,∠DOP=45°,∴∠ODE=135°,
∴∠EDR=45°,即△EDR为等腰直角三角形,
∴ER=DR=OM=m,EM=ER+RM=ER+OD=m+3m=4m,
∴E(m,4m).
(2)相等.理由如下:
依题意画出图形,如图②所示.
由(1)知,∠ODE=∠BDO+∠BDE=135°,
又OB=OD=3m,即△OBD为等腰直角三角形,∴∠BDO=45°,
∴∠BDE=90°,即△BDE为直角三角形.
由圆周角定理可知,BE为△BDE外接圆的直径,∴∠BQE=90°.
过点E作EK⊥y轴于点K,则有EK=m,OK=4m.
∵∠BQE=90°,∴∠EQK+∠BQO=90°,又∠BQO+∠QBO=90°,
∴∠EQK=∠QBO.
∴Rt△EQK∽Rt△QBO,
∴
=
,即
=
,解得OQ=m或OQ=3m,
∵点Q与点D不重合,∴OQ=m,
∴OQ=EK,即相似比为1,此时两个三角形全等,
∴BQ=EQ.
(3)如图②所示,连接BC.
由(1)可知,如图①,CD=2DQ=4m,∴OC=CD-OD=m.
由(2)可知,△BDE为直角三角形,△EDK与△BDO均为等腰直角三角形,
∴DE=
EK=
由题意可知,OM=PM=m,PB=
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在Rt△PBM中,由勾股定理得:
BM=
PB2−PM2 |
(
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∴OB=OM+BM=m+2m=3m,
∴B(3m,0);
连接PD,过点P作PN⊥y轴于点N,同理可求得DN=2m,OD=3m.
过点D作DR⊥PE于点R,
∵平行四边形DOPE,∴∠ODE+∠DOP=180°;
由题意可知,∠DOP=45°,∴∠ODE=135°,
∴∠EDR=45°,即△EDR为等腰直角三角形,
∴ER=DR=OM=m,EM=ER+RM=ER+OD=m+3m=4m,
∴E(m,4m).
(2)相等.理由如下:
依题意画出图形,如图②所示.
由(1)知,∠ODE=∠BDO+∠BDE=135°,
又OB=OD=3m,即△OBD为等腰直角三角形,∴∠BDO=45°,
∴∠BDE=90°,即△BDE为直角三角形.
由圆周角定理可知,BE为△BDE外接圆的直径,∴∠BQE=90°.
过点E作EK⊥y轴于点K,则有EK=m,OK=4m.
∵∠BQE=90°,∴∠EQK+∠BQO=90°,又∠BQO+∠QBO=90°,
∴∠EQK=∠QBO.
∴Rt△EQK∽Rt△QBO,
∴
EK |
OQ |
QK |
OB |
m |
OQ |
4m−OQ |
3m |
∵点Q与点D不重合,∴OQ=m,
∴OQ=EK,即相似比为1,此时两个三角形全等,
∴BQ=EQ.
(3)如图②所示,连接BC.
由(1)可知,如图①,CD=2DQ=4m,∴OC=CD-OD=m.
由(2)可知,△BDE为直角三角形,△EDK与△BDO均为等腰直角三角形,
∴DE=
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作业帮用户
2017-11-15
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