如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x-4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为174

Question

如图，已知抛物线C：y ² =2px和⊙M：（x-4） ² +y ² =1，过抛物线C上一点H（x ₀ ，y ₀ ）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为 (17)/(4) ．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．

Answer 1

（1）∵点M（4，0）到抛物线准线的距离为 4+(p)/(2) =(17)/(4) ，
∴p= (1)/(2) ，即抛物线C的方程为y ² =x．
（2）∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k _HE =-k _HF ，
设E（x ₁ ，y ₁ ），F（x ₂ ，y ₂ ），
∴ (yH - y1)/(xH - x1) =-(yH - y2)/(xH - x2) ，
∴ (yH - y1)/(y2H-y21) =-(yH - y2)/(y2H-y22) ，
∴y ₁ +y ₂ =-2y _H =-4．
k EF =(y2 - y1)/(x2 - x1) = (y2 - y1)/(y22-y21) = (1)/(y1 + y2) =-(1)/(4) ．