在平面直角坐标系中，直线y1=kx-4k与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y2=4x交于点C；双曲线y=mx过点C，与直线y1交于另一点D，与直线y2交于另一点M，已知S△ACO=8，在直线x=13上是否存在点N使得△

Question

在平面直角坐标系中，直线y₁=kx-4k与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y₂=4x交于点C；双曲线y=(m)/(x)过点C，与直线y₁交于另一点D，与直线y₂交于另一点M，已知S_△ACO=8，在直线x=(1)/(3)上是否存在点N使得△NCD为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

存在
由直线y₁=kx-4k，当y=0时，x=4，
∴点A（4，0），
∵S_△ACO=8，
设△ACO的高为h，
∴(1)/(2)OA•h=8
∴h=4
∴点C（1，4），
把点C（1，4）代入y₁得4=k-4k，
解得：k=-(4)/(3)，
∴y₁=-(4)/(3)x+(16)/(3)
∵双曲线y=(m)/(x)过点C，
∴双曲线的解析式为y=(4)/(x)，
由

y1＝−(4)/(3)x+(16)/(3)

y＝(4)/(x)

∴D（3，(4)/(3)）
当∠NDC=90°时，直线ND为y=(3)/(4)x-(11)/(12)
由x=(1)/(3)时，y=(2)/(3)，
即N（(1)/(3)，-(2)/(3)）
当∠NCD=90°时，直线CN为y=(3)/(4)x+(13)/(4)，
由x=(1)/(3)时y=7(7)/(2)，
即N（(1)/(3)，(7)/(2)），
当∠CND=90°时，以CD为直径做圆，与直线x=

作业帮用户 2017-10-27 举报

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问题解析

由直线y₁=kx-4k得到点A（4，0），根据S_△ACO=8得到点C（1，4），从而确定直线和双曲线的解析式，然后求得两个图象的交点D的坐标，分当∠NDC=90°时和当∠NCD=90°时两种情况求得直线CN的解析式，从而求得点N的坐标．

名师点评

本题考点：

反比例函数综合题．

考点点评：

本题考查了反比例函数的综合知识，题目中应用了互相垂直的两条直线的比例系数的乘积为1这一知识，难度中等偏上．

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