已知抛物线C:y2=4x的焦点F,过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l.已知抛物线C:y2=4x的焦点F,过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点共圆,求l的方程

Question

已知抛物线C:y2=4x的焦点F,过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l.
已知抛物线C:y2=4x的焦点F,过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点共圆,求l的方程

Answer 1

由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,设l的方程为 x=my+1 （m≠0）,
代入抛物线方程可得y²-4my-4=0,∴y₁+y₂=4m,y₁•y₂=-4．
∴AB的中点坐标为D（2m²+1,2m）,弦长|AB|=m2+1|y₁-y₂|=4（m²+1）．
又直线l′的斜率为-m,∴直线l′的方程为 x=-1my+2m²+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y²+4my-4（2m²+3）=0,∴y₃+y₄=−4m,y₃•y₄=-4（2m²+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（2m2+2m²+3,−2m）,∴|MN|=1+1m2|y₃-y₄|=4(m2+1)2m2+1m2,
∵MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=12|MN|,
∴14•AB2+DE²=14MN²,
∴4（m²+1）²+(2m+2m)2+(2m2+2)2=16(m2+1)2(2m2+1)m4,化简可得 m²-1=0,
∴m=±1,∴直线l的方程为 x-y-1=0,或 x+y-1=0．