如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．求证：1PC＝12(1PA+1PB)．

Question

如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．
求证：(1)/(PC)＝(1)/(2)((1)/(PA)+(1)/(PB))．

Answer 1

证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST；
连SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点，
于是PE＝(PA+PB)/(2)
因为C、E、O、D四点共圆，
所以PC•PE=PD•PO
又因为Rt△SPD∽Rt△OPS
所以(SP)/(PD)＝(OP)/(PS)
即PS²=PD•PO
而由切割线定理知PS²=PA•PB
所以PC•(PA+PB)/(2)＝PA•PB
即(1)/(PC)＝(1)/(2)((1)/(PA)+(1)/(PB))