有关高数的问题高数下册讲对弧长的曲线积分的时候有这样一段话：对弧长的曲线积分转化为定积分后,积分上限一定大于积分下限.有这样一个问题,令曲线弧L为椭圆方程x²/a²+y²/b

Question

有关高数的问题
高数下册讲对弧长的曲线积分的时候有这样一段话：对弧长的曲线积分转化为定积分后,积分上限一定大于积分下限.
有这样一个问题,令曲线弧L为椭圆方程x²/a²+y²/b²=1第一象限的弧段,求对弧长的曲线积分∫Lxds.
如果不用参数方程的形式,令x=x,y=f（x）,那么转化成定积分的形式就是：∫x√（1+f'²（x））dx,其中积分上下限分别为a,0.但是如果转化成参数方程的形式,令x=acosθ,y=bsinθ,当x=0时,θ=π/2；当x=a时,θ=0,那么请问,定积分∫acosθ√（a²sin²θ+b²cos²θ）dθ的积分上下限应该写成0,π/2呢,还是按照书上的规定写成π/2,0,

Answer 1

就应该按照书上讲的,积分上限一定大于积分下限.
当用参数方程的形式时,上限是π/2,下限是0.
这里是,采用参数方程的形式,或者,采用直角坐标（参数方程）的形式,
与,x元换成θ元之换元区分开.