设矩阵A=（α1,α2,α3,α4）,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3,β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.

Question

设矩阵A=（α1,α2,α3,α4）,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3,β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.

Answer 1

α2,α3,α4线性无关,α1可以由α2,α3,α4线性表示,所以A的秩是3.
由α1=2α2-α3得α1-2α2+α3+0*α4=0,所以(1,-2,1,0)'是Ax=0的一个解,所以Ax=0的通解是x=k(1,-2,1,0)',k是任意实数,
Ax=β有一解(1,1,1,1)'.
所以Ax=β的通解是x=k(1,-2,1,0)'+(1,-1,1,1)'.
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其中'代表转置.