对于定义域为R的函数f（x），若满足①f（0）=0；②当x∈R，且x≠0时，都有xf'（x）>0；③当x1≠x2，且f（x1）=f（x2）时，x1+x2<0，则称f（x）为“偏对称函数”．现给出四个函数：g（x）=

Question

对于定义域为R的函数f（x），若满足①f（0）=0；②当x∈R，且x≠0时，都有xf'（x）>0；③当x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）时，x₁+x₂<0，则称f（x）为“偏对称函数”．
现给出四个函数：g（x）=

( (1)/(2x-1)+ (1)/(2))x2(x≠0)

0(x=0)

；h(x)=

ln(-x+1)(x≤0)

2x(x>0)

；ϕ(x)=-x3+ (3)/(2)x2；φ（x）=e^x-x-1．
则其中是“偏对称函数”的函数个数为___．

Answer 1

经验证，g（x），h（x），Φ（x），φ（x）都满足条件①；
xf′（x）>0⇔

x>0

f′(x)>0

，或

x<0

f′(x)<0

．即条件②等价于函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．
而容易验证g（x）是奇函数，由及函数的性质可知g（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）上单调性相同，故g（x）不满足条件②．
由复合函数的单调性法则知h（x）在区间（-∞，0）上单调递减，显然在（0，+∞）上单调递增，故h（x）满足条件②．
Φ′（x）=-3x²+3x，xΦ′（x）=-3x³+3x²=-3x²（x-1），当x>1时，xΦ′（x）<0，故Φ（x）不满足条件②．
φ′（x）=e^x-1，xφ′（x）=x（e^x-1），满足条件②．
故由条件②可排除g（x）和Φ（x）；
由函数h（x）的单调性知：当x₁≠x₂，且h（x₁）=h（x₂）时，x₁x₂<0，不妨设x₁<0<x₂．
则ln（-x₁+1）=2x₂，设F（x）=ln（x+1）-2x，x>0．则F′（x）=(1)/(x+1)-2=(-2x-1)/(x+1)<0，F（x）在（0，+∞）上是减函数，
所以F（x₂）<F（0）=0，即ln（x₂+1）<2x₂，即ln（x₂+1）<ln（-x₁+1），所以x₂+1<-x₁+1，即x₁+x₂<0，故h（x）也满足条件③，所以h（x）是“偏对称函数”．
由φ（x）的单调性知当x₁≠x₂，且φ（x₁）=φ（x₂）时，x₁x₂<0，不妨设x₁<0<x₂．
则ex1-x1-1=ex2-x2-1，-x₂<0，φ（x₁）-φ（-x₂）=φ（x₂）-φ（-x₂）=ex2-e-x2-2x2．
令F（x）=e^x-e^-x-2x，F′（x）=ex+e-x-2≥2√(ex•e-x)-2=0，当且仅当e^x=e^-x即x=0时，“=”成立，
所以F（x）在[0，+∞）上是增函数，所以F（x₂）>F（0）=0，即φ（x₁）-φ（-x₂）>0，所以φ（x₁）>φ（-x₂），所以x₁<-x₂，所以x₁+x₂<0．所以φ（x）是“偏对称函数”．
故答案为：2