已知函数f（x）=ex-e-x（x∈R），（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t，使得不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x都成立？若存在，求t，若不存在，说明理由．

Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x（x∈R），
（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；
（2）是否存在实数t，使得不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0对一切x都成立？若存在，求t，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵f(x)＝ex−(1)/(ex)∴ f(x)单调递增

又∵f(−x)＝e−x−ex＝−f(x)

∴f（x）是奇函数
（2）假设存在∵f（x-t）+f（x²-t²）≥0恒成立

∴  f(x−t)≥−f(x2−t2)＝f(t2−x2)恒成立

∴x−t≥t2−x2

∴(t+(1)/(2))2≤

(x+(1)/(2))

2 min

＝0∴  t＝−(1)/(2)

即存在t=-(1)/(2)使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0恒成立