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已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R),(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;(2)是否存在实数t,使得不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求t,若不存在,说明理由.

题目详情
已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R),
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;
(2)是否存在实数t,使得不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求t,若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(x)=ex−
1
ex
∴ f(x)单调递增
又∵f(−x)=e−x−ex=−f(x)

∴f(x)是奇函数
(2)假设存在∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0恒成立
∴  f(x−t)≥−f(x2−t2)=f(t2−x2)恒成立
∴x−t≥t2−x2
∴(t+
1
2
)2≤
(x+
1
2
)
2
min
=0∴  t=−
1
2

即存在t=-
1
2
使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0恒成立
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