已知函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：当x∈（0，1）时，f(x)>2(x+x33)．

Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求证：当x∈（0，1）时，f(x)>2(x+(x3)/(3))．

Answer 1

（1）f（x）=ln(1+x)/(1-x)的导数为
f′（x）=(1-x)/(1+x)•(2)/((x-1)2)=-(2)/(x2-1)，
可得在点（0，f（0））处的切线斜率为2，切点（0，0），
即有在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x；
（2）证明：由y=ln(1+x)/(1-x)-2（x+(x3)/(3)），0<x<1，
导数为y′=(1-x)/(1+x)•(2)/((1-x)2)-2（1+x²）
=(2)/(1-x2)-2（1+x²），
由0<x<1可得y′=(2x4)/(1-x2)>0，
即有导数y′>0在（0，1）恒成立，
则有函数ln(1+x)/(1-x)-2（x+(x3)/(3)）在（0，1）递增，
则有ln(1+x)/(1-x)-2（x+(x3)/(3)）>0，
故当x∈（0，1）时，f(x)>2(x+(x3)/(3))．