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设f(x)=∫sint/π-tdt(0→x),求∫f(x)dx(0→π)
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设f(x)=∫sint/π-tdt(0→x),求∫f(x)dx(0→π)
▼优质解答
答案和解析
记f'(x) = sinx/(π - x)
∫(0~π) f(x) dx
= xf(x) - ∫(0~π) xf(x)' dx、
= πf(π) - ∫(0~π) x · sinx/(π - x) dx
= π∫(0~π) sint/(π - t) dt - ∫(0~π) xsinx/(π - x) dx
= π∫(0~π) sinx/(π - x) dx - ∫(0~π) xsinx/(π - x) dx
= ∫(0~π) (πsinx - xsinx)/(π - x) dx
= ∫(0~π) (π - x)sinx/(π - x) dx
= ∫(0~π) sinx dx
= - cosx |_(0~π)
= - (- 1 - 1)
= 2
∫(0~π) f(x) dx
= xf(x) - ∫(0~π) xf(x)' dx、
= πf(π) - ∫(0~π) x · sinx/(π - x) dx
= π∫(0~π) sint/(π - t) dt - ∫(0~π) xsinx/(π - x) dx
= π∫(0~π) sinx/(π - x) dx - ∫(0~π) xsinx/(π - x) dx
= ∫(0~π) (πsinx - xsinx)/(π - x) dx
= ∫(0~π) (π - x)sinx/(π - x) dx
= ∫(0~π) sinx dx
= - cosx |_(0~π)
= - (- 1 - 1)
= 2
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