如图，已知直线l与O相离，OA⊥l于点A，OA与O相交于点P，点B为O上一点，BP的延长线交直线l于点C，且AB=AC．（1）求证：AB与O相切；（2）若tan∠OAB=34，求sin∠ABC的值．

Question

如图，已知直线l与 O相离，OA⊥l于点A，OA与 O相交于点P，点B为 O上一点，BP的延长线交直线l于点C，且 AB=AC．

（1）求证：AB与 O相切；
（2）若tan∠OAB=(3)/(4)，求sin∠ABC的值．

Answer 1

证明：（1）连接OB
∵OB=OP
∴∠OPB=∠OBP=∠APC
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵OA⊥l
∴∠ACB+∠APC=90°
∴∠ABC+∠OBP=90°
即OB⊥AB
∴AB与 O相切
（2）∵tan∠OAB=(3)/(4)=(OB)/(AB)，
设OB=3k，AB=4k，则OA=5k，OP=3k，AP=2k
∵AC=AB=4k，
∴PC=√(AC2+AP2)=√((4k)2+(2k)2)=2√(5)k，
∴sin∠ABC=sin∠ACB=(AP)/(PC)=(√(5))/(5)．