如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2：y=-2x3+3x(x≥0)交于点O、A，直线x=t(0＜t＜1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D，（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t)；（Ⅱ）讨论f(t)的

Question

如图，已知曲线C ₁ ：y=x ³ (x≥0)与曲线C ₂ ：y=-2x ³ +3x(x≥0)交于点O、A，直线x=t(0＜t＜1)与曲线C ₁ 、C ₂ 分别相交于点B、D，
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t)；
（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）由题意得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1），
f(t)=S _△ABD +S _△OBD = |BD|·|1-0|= |BD|= (-3t ³ +3t)，
即f(t)=- (t ³ -t)，(0＜t＜1)。
（Ⅱ）f＇(t)=- t ² + ，令f＇(t)=0，解得t= ，
当0＜t＜ 时，f＇(t)＞0，从而f(t)在区间（0， ）上是增函数；
当 ＜t＜1时，f＇(t)＜0，从而f(t)在区间（ ，1）上是减函数；
所以当t= 时，f(t)有最大值为f( )= 。