凸四边形公式证明已知凸四边形四边长分别为a,b,c,d,对角线长度分别为e,f,对角线中点的连线长度为m,求证:a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4*m^2

Question

凸四边形公式证明
已知凸四边形四边长分别为a,b,c,d,对角线长度分别为e,f,对角线中点的连线长度为m,求证:a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4*m^2

Answer 1

平行四边形公式懂不懂?四边平方和等于对角线的平方和（不懂自己用余弦定理弄一弄就出来了）
进而等到三角形中线定理.
假设四边形为ABCD,AB=a,BC =b,CD =c,DA =d,BD=e,AC=f,BD中点为E,AC中点为F,则有
DF为△ACD的中线,所以有
2c^2+2d^2=f^2+(2DF)^2
同理有2a^2+2b^2=f^2+(2BF)^2;
2DF^2+2BF^2=e^2+(2m)^2
所以有2(a^2+b^2+c^2+d^2)=2f^2+4(DF^2+BF^2)=2f^2+2*(e^2+4m^2)
两边除以2得a^2+b^2+c^2+d^2=f^2+e^2+4m^2