高手来拿分!在凸四边形ABCD的边AB和BC上,取点E和点F,使线段DE和DF把对角线AC三等分,已知三角形ADE和三角形CDF的面积都等于四边形ABCD的面积的4分之1,求证：四边形ABCD是平行四边形提示：（最好

Question

高手来拿分!
在凸四边形ABCD的边AB和BC上,取点E和点F,使线段DE和DF把对角线AC三等分,已知三角形ADE和三角形CDF的面积都等于四边形ABCD的面积的4分之1,求证：四边形ABCD是平行四边形
提示：（最好用提示的字母）
设DE与AC交于P,DF与AC交于Q,联结BP、BQ
（还有一条辅助线我不知道是如何取的,反正是过D作了一条线与AC相交于M,我不确定是作垂线还是取AC的中点或是怎么样）
大家写得详细一些，过程尽量写！！！

Answer 1

S(DAP)=S(DPQ)=S(DCQ),因为S(DAE)=S(DCF),所以S(AEP)=S(CFQ),因为AP=CQ,所以EF平行于AC,可以设PQ:EF=x,S(DPQ)=S,那么,S(ADC)=3*S,S(AEP):S(APD)=EP:PD=(1-x)/x,S(AEP)=(1-x)/x*S,S(AED)=1/x*S,S(PQFE)=(1/(x^2)-1)*S,所以S(AEFC)=S(PQFE)+2*S(AEP)=((1/x)^2+2*(1/x)-3)*S,EF:AC=1/(3*x),S(ABC)=9*x^2/(9*x^2-1)*S(AEFC)=9*(1+2*x-3*x^2)/(9*x^2-1)*S,S(ABCD)=S(ABC)+S(ADC)=(18*x+6)/(9*x^2-1)*S=4*S(AED)=4*1/x*S,所以
(9*x+3)*x=18*x^2-2,9*x^2+3*x=18*x^2-2,
9*x^2-3*x-2=0,解得x=2/3.下面不难做了吧.
容易证明AD平行于BC,AB平行于CD,所以是平行四边形了.