如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，直线l：my=x+t（t≠0）交抛物线C于A，B两点，且满足OA⊥OB．圆E是以（-p，p）为圆心，p为直径的圆．（1）求抛物线C和圆E的方程

Question

如图，已知抛物线y²=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，直线l：my=x+t（t≠0）交抛物线C于A，B两点，且满足OA⊥OB．圆E是以（-p，p）为圆心，p为直径的圆．
（1）求抛物线C和圆E的方程；
（2）设点M为圆E上的任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程．

Answer 1

（1）由题意得2+(p)/(2)=3，得p=2，
∴抛物线C和圆E的方程分别为：y²=4x；
（x+2）²+（y-2）²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立方程

y2＝4x

my＝x+t

，
整理得y²-4my+4t=0，
由韦达定理得

y1+y2＝4m

y1y2＝4t

…①
则x1x2＝(my1−t)(my2−t)＝m2y1y2−mt(y1+y2)+t2，
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，
即（m²+1）y₁y₂-mt（y₁+y₂）+t²=0，
将 ①代入上式整理得t²+4t=0，
由t≠0得t=-4．
故直线AB过定点N（4，0）．
∴当MN⊥l，动点M经过圆心E（-2，2）时到直线l的距离d取得最大值．
由k_MN=(2−0)/(−2−4)=-(1)/(3)，得k_l=3．
此时的直线方程为l：y=3（x-4），即3x-y-12=0．