若A（1，4），B（-3，1），过点B的直线l与点A的距离为d．（1）d的取值范围为；（2）当d取最大值时，直线l的方程为；（3）当d=4时，直线l的方程为．

Question

若A（1，4），B（-3，1），过点B的直线l与点A的距离为d．
（1）d的取值范围为___；
（2）当d取最大值时，直线l的方程为___；
（3）当d=4时，直线l的方程为___．

Answer 1

（1）∵A（1，4），B（-3，1），∴|AB|=√((1+3)2+(4-1)2)=5，
∴过点B的直线l与点A的距离d的取值范围是0≤d≤5；
（2）当d取最大值5时，AB⊥l，
∵k_AB=(1-4)/(-3-1)=(3)/(4)，
∴直线l的方程为 y-1=-(4)/(3)（x+3），
化为一般方程是4x+3y+9=0；
（3）当d=4时，设直线l的方程为y-1=k（x+3），
即kx-y+3k+1=0，
∴点A（1，4）到直线l的距离为
d=(|k-4+3k+1|)/(√(k2+1))=4，
解得k=-(7)/(24)，
此时直线方程为7x+24y-3=0；
又当斜率k不存在时，直线x=-3也满足A（1，4）到直线l的距离d=4；
综上，所求的直线方程为x=-3或7x+24y-3=0．
故答案为：（1）0≤d≤5，（2）4x+3y+9=0，（3）x=-3或7x+24y-3=0．