已知定点F（2，0），直线l：x=-2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且FQ⊥(PF+PQ)．（1）求动点P所在曲线C的方程；（2）直线l1过点F与曲线C交于A、B两个不同点，求证

Question

已知定点F（2，0），直线l：x=-2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l₁过点F与曲线C交于A、B两个不同点，求证：(1)/(|AF|)+(1)/(|BF|)=(1)/(2)；
（3）记

OA

与

OB

的夹角为θ（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cosθ的最小值．

Answer 1

（1）设动点P（x，y）．依据题意，可得
Q(−2，y)，

FQ

＝(−4，y)，

PF

＝(2−x，−y)，

PQ

＝(−2−x，0)．　　　　（3分）
又

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)，
于是，

FQ

•(

PF

+

PQ

)＝0，即y²=8x（x≥0）．　　　　　　　　　　　　　　　　　（6分）
因此，所求动点P的轨迹方程为C：y²=8x（x≥0）．
（2）证明：∵直线l₁过F点且与曲线C交于不同的A、B两点，
∴l₁的斜率不为零，故设l₁：x=my+2．                       　　　　　　　　　   （7分）
联立方程组

y2＝8x

x＝my+2

得y²-8my-16=0．（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y1+y2＝8m

y1y2＝−16

，进一步得

x1+x2＝8m2+4

x1x2＝4.

（10分）
又∵曲线C：y²=8x（x≥0）的准线为：x=-2，
∴左边=(1)/(|FA|)+(1)/(|FB|)＝(1)/(x1+2)+(1)/(x2+2)=(4+x1+x2)/(x1x2+2(x1+x2)+4)=(1)/(2)=右边．　　　　　　　　　　　　（12分）
∴(1)/(|FA|)+(1)/(|FB|)＝(1)/(2)．证毕！
（3）由（2）可知，

OA

＝(x1，y1)，

OB

＝(x2，y2)．
∴cosθ＝(OA•OB)/(|OA|•|OB|)＝(x1x2+y1y2)/(√(x21+y21)•√(x22+y22))=(−12)/(√(x21+8x1)•√(x22+8x2))=(−6)/(√(100+64m2))≥−(3)/(5)（当且仅当m=0时，等号成立）．　　　　　（16分）
∴(cosθ)min＝−(3)/(5)．                                                              （18分）