已知定点F(2,0),直线l:x=-2,点P为坐标平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为点Q,且FQ⊥(PF+PQ).(1)求动点P所在曲线C的方程;(2)直线l1过点F与曲线C交于A、B两个不同点,求证
已知定点F(2,0),直线l:x=-2,点P为坐标平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为点Q,且⊥(+).
(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线l1过点F与曲线C交于A、B两个不同点,求证:+=;
(3)记与的夹角为θ(O为坐标原点,A、B为(2)中的两点),求cosθ的最小值.
答案和解析
(1)设动点P(x,y).依据题意,可得
Q(−2,y),=(−4,y),=(2−x,−y),=(−2−x,0). (3分)
又⊥(+),
于是,•(+)=0,即y2=8x(x≥0). (6分)
因此,所求动点P的轨迹方程为C:y2=8x(x≥0).
(2)证明:∵直线l1过F点且与曲线C交于不同的A、B两点,
∴l1的斜率不为零,故设l1:x=my+2. (7分)
联立方程组得y2-8my-16=0.(8分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,进一步得(10分)
又∵曲线C:y2=8x(x≥0)的准线为:x=-2,
∴左边=+=+===右边. (12分)
∴+=.证毕!
(3)由(2)可知,=(x1,y1),=(x2,y2).
∴cosθ====≥−(当且仅当m=0时,等号成立). (16分)
∴(cosθ)min=−. (18分)
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