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在平面直角坐际系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的-个定点,若以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒为定值,则线段OP的长为.

题目详情
在平面直角坐际系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的-个定点,若以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒为定值,则线段OP的长为___.
▼优质解答
答案和解析
设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),则
tan∠OPA=
a-r
t
,tan∠OPB=
a+r
t

∴tan∠APB=
a+r
t
-
a-r
t
1+
a2-r2
t2
=
2rt
t2+a2-r2

a2+4
=|r+1|,
∴a2=(r+1)2-4,
∴tan∠APB=
2rt
t2+2r-3
=
2t
t2-3
r
+2

∵∠APB的大小恒为定值,
t=
3

∴|OP|=
3
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