在平面直角坐际系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的-个定点，若以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为．

Question

在平面直角坐际系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的-个定点，若以AB为直径的圆与圆x²+（y-2）²=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为___．

Answer 1

设O₂（a，0），圆O₂的半径为r（变量），OP=t（常数），则
tan∠OPA=(a-r)/(t)，tan∠OPB=(a+r)/(t)，
∴tan∠APB=((a+r)/(t)-(a-r)/(t))/(1+(a2-r2)/(t2))=(2rt)/(t2+a2-r2)，
∵√(a2+4)=|r+1|，
∴a²=（r+1）²-4，
∴tan∠APB=(2rt)/(t2+2r-3)=(2t)/((t2-3)/(r)+2)，
∵∠APB的大小恒为定值，
∴t=√(3)，
∴|OP|=√(3)．