高中圆锥曲线.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C：y^2=4x上的任意两点,点P(1,2)是抛物线C上定点,已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C：y^2=4x上的任意两点,点P(1,2)是抛物线C上定点,直线PA和PB的斜率分别为k1,k2,

Question

高中圆锥曲线.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C：y^2=4x上的任意两点,点P(1,2)是抛物线C上定点,
已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C：y^2=4x上的任意两点,点P(1,2)是抛物线C上定点,直线PA和PB的斜率分别为k1,k2,若K1K2=2求证：直线AB过定点.
记得有一种解法是把K1、K2用X1、X2表示出来,有两种表示方式.然后k1k2可以写成两个方程,联立,带入直线AB的方程求到定点.但是我忘了怎样用两种办法k1、k2,

Answer 1

设直线PA的斜率为1/k1（这么设是为了计算方便）
直线PB的斜率为1/k2
根据题意k1k2=1/2
A(x1,y1),B(x2,y2)
那么PA：x-1=k1(y-2)
与抛物线C：y^2=4x联立
得到y^2-4k1y+8k1-4=0
根据韦达定理得到
y1+2=4k1
所以y1=4k1-2
x1=(2k1-1)^2
所以A((2k1-1)^2,4k1-2)
把k1换成k2
得到了B((2k2-1)^2,4k2-2)
所以KAB=1/(k1+k2-1)
写出AB的方程y-(4k1-2)=[x-(2k1-1)^2]/(k1+k2-1)
把k1k2=1/2带入,并整理后得到
(k1+k2-1)y=x-2k1-2k2
所以(k1+k2)(y+2)=x+y
只要令y+2=0
x+y=0
解得x=2, y=-2
所以恒过点(2,-2)