问题探究（1）如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=12AE，并说明理由；（2）如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求12AM+MC的最小值；问题解决（3

Question

【问题探究】
（1）如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=(1)/(2)AE，并说明理由；
（2）如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求(1)/(2)AM+MC的最小值；
【问题解决】
（3）如图③，A、B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路．点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置，并求出AM的长．（结果保留根号）

Answer 1

（1）如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求．

理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点，
∴∠BAD=30°，
∵EF⊥AB，
∴EF=(1)/(2)AE；
                                
（2）如图②，作CN⊥AB，垂足为点N，交AD于点M，此时(1)/(2)AM+MC最小，最小为CN的长．
∵△ABC是边长为2的正△ABC，
∴CN=BC•sin60°=2×(√(3))/(2)=√(3)，
∴MN+CM=(1)/(2)AM+MC=√(3)，
即(1)/(2)AM+MC的最小值为√(3)．

（3）如图③，作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，
作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求．
在Rt△ABD中，AD=√(AB2−BD2)=√(6002−3602)=480（km），
在Rt△MBD中，∠MBD=∠MAF=30°，得MD=BD•