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已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=2√3/3,过点A(a,0)B(0,-b)的直线到原点的距离是√3/2.(1)求双曲线的方程(2)过点B作直线m交双曲线与M,N两点,若向量OM×向量ON=-23,求直线m的方程
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已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=2√3/3,过点A(a,0)B(0,-b)的直线到原点的距离是√3/2.
(1)求双曲线的方程
(2)过点B作直线m交双曲线与M,N两点,若向量OM×向量ON=-23,求直线m的方程
(1)求双曲线的方程
(2)过点B作直线m交双曲线与M,N两点,若向量OM×向量ON=-23,求直线m的方程
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答案和解析
1)离心率e=c/a=2√3/3 => c²/a²=4/3 =>b²/a²=c²/a²-1=1/3 ①
直线l斜率为b/a,方程为y=bx/a -b 即bx-ay-ab=0
原点到直线l的距离√3/2=|0+0-ab|/√(a²+b²) ②
①②两式联立解得:a=√3,b=1,c=2
双曲线方程为x²/3 - y² =1
(2)设直线m方程为y=kx-1,与双曲线方程联立得:(3k²-1)x²-6kx+6=0
由韦达定理可知:x1+x2=6k/(3k²-1),x1x2=6/(3k²-1)
y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k²x1x2-k(x1+x2)+1=6k²/(3k²-1)-6k²/(3k²-1) +1=1
(向量OM)·(向量ON)= -23=x1x2+y1y2=6/(3k²-1) +1
解得k=±1/2
所以直线m方程为y=1/2x-1或y=-1/2x-1
直线l斜率为b/a,方程为y=bx/a -b 即bx-ay-ab=0
原点到直线l的距离√3/2=|0+0-ab|/√(a²+b²) ②
①②两式联立解得:a=√3,b=1,c=2
双曲线方程为x²/3 - y² =1
(2)设直线m方程为y=kx-1,与双曲线方程联立得:(3k²-1)x²-6kx+6=0
由韦达定理可知:x1+x2=6k/(3k²-1),x1x2=6/(3k²-1)
y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k²x1x2-k(x1+x2)+1=6k²/(3k²-1)-6k²/(3k²-1) +1=1
(向量OM)·(向量ON)= -23=x1x2+y1y2=6/(3k²-1) +1
解得k=±1/2
所以直线m方程为y=1/2x-1或y=-1/2x-1
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