如图所示，已知点A（-1，0）是抛物线的准线与x轴的焦点，过点A的直线与抛物线交于M，N两点，过点M的直线交抛物线于另一个点Q，且直线MQ过点B（1，-1）．（1）求抛物线的方程；（2）求证

Question

如图所示，已知点A（-1，0）是抛物线的准线与x轴的焦点，过点A的直线与抛物线交于M，N两点，过点M的直线交抛物线于另一个点Q，且直线MQ过点B（1，-1）．

（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线QN过定点．

Answer 1

（1） 由题意，抛物线的准线方程为x=-1，
∴抛物线的方程为y²=4x；
（2）证明：设AM的方程为y=k（x+1），代入抛物线的方程，可得ky²-4y+4k=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），则y₁y₂=4，
由kMQ=(y1-y3)/(x1-x3)=(y1-y3)/((y12)/(4)-(y32)/(4))=(4)/(y1+y3)，
直线MB的方程为y+1=(4)/(y1+y3)（x-1），
∴y₁+1=(4)/(y1+y3)（x₁-1），
可得y₁=-(4+y3)/(1+y3)，
∴(4)/(y2)=-(4+y3)/(1+y3)，
∴y₂y₃+4（y₂+y₃）+4=0
直线QN的方程为y-y₂=(4)/(y2+y3)（x-x₂）
可得y₂y₃-y（y₂+y₃）+4x=0，
∴x=1，y=-4，
∴直线QN过定点（1，-4）