若x＞4，求证：2x＞x2．

Question

若x＞4，求证：2^x＞x²．

Answer 1

证明：欲证2^x＞x²，只需证xln2＞2lnx．
令f（x）=xln2-2lnx       
则f′（x）=ln2-(2)/(x)，
∵x＞4，
∴f′（4）=ln2-(1)/(2)=(2ln2−1)/(2)=(1)/(2)（ln4-lne）＞0，
∴f′（x）＞0
∴函数在（4，+∞）上单调递增           
∴f（x）＞f（4）=4ln2-2ln4=0，
即xln2＞2lnx，
∴2^x＞x²．